Reseña Histórica

HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA

La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos.

Durante muchos siglos, la trigonometría deTolomeo fue la introducción básica para los astrónomos, quién aparece 300 años después de la civilización griega.  El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo. Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. 

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. 

El occidente se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.

A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

Lectura y búsqueda historial de la evolución de la trigonometría

La historia de la trigonometría comienza con los babilonios y los egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.

Tres siglos después, el astrónomo Claudio Ptolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico base 60 de los babilonios.

Durante muchos siglos, la trigonometría de Ptolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. Su libro deAstronomía, el Almagesto, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro mostraba ejemplos de cómo utilizar dicha tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El Teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Ptolomeo.

Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos hindúes utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astrónomos árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría, tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas

Ángulos y sus medidas

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común.A las semirrectas se las llama lados del ángulo. El origen común es el vértice El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj ynegativo en caso contrario

Medida de ángulos

       Para medir ángulos se utiliza el sistema sexagesimal.Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

1º = 60' = 3600''

            1' = 60''

                                           Radianes

Un radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arcocoincide con la longitud de su radio.

Sistemas de medición angular

Se entiende por sistemas de medición angular a la clase de mediciones sobre un arco de circunferencia. Son un capítulo básico en el estudio de la trigonometría, para comprender estos sistemas se debe saber el concepto de ángulo trigonométrico. En este sistema de medición angular utilizamos el ángulo como posición de vértice en ángulo C. Por ejemplo: el ángulo C es un vértice 0 que se suma a la circunferencia de C+A que llega a un total de C+A= 360º

·         Sistema Internacional:¹ Es un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados abarcan un arco de longitud igual al radio de la circunferencia; en este sistema se le conoce como medida angular unidad el radián, con abreviatura rad. Se utiliza en geometría, cálculos y análisis matemático, por ejemplo en sistema de coordenadas polar, etc.

·         Sistema sexagesimal: Sistema de 360º, su unidad es el grado sexagesimal (º), cada grado a su vez se divide en 60 partes iguales llamados minutos (´), y estos a su vez se dividen en 60 partes iguales llamados segundos (")

·         Sistema centesimal: Sistema de 400 grados, su unidad es el grado centesimal (^g).

Círculo trigonométrico.

 También conocido como goniométrico, es aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad. El círculo trigonométrico tiene la ventaja de ser una herramienta práctica en el manejo de los conceptos de trigonometría, pero al mismo tiempo es un apoyo teórico, pues ayuda a fundamentar y tener una idea precisa y formal de las funciones trigonométricas. Atreves del círculo trigonométrico se puede obtener de forma manual o analítica el valor aproximado de las razones trigonométricas para un ángulo determinado si se dispone de los instrumentos geométricos necesarios

Características

Se toma como base un círculo de radio r = 1 con centro o, en el origen en el plano cartesiano. Se considera un ángulo arbitrario medido a partir del eje x positivo y en sentido positivo; o sea, en sentido contrario a las manecillas del reloj; todo ángulo puede ser colocado (y de una sola manera) de forma tal que su vértice coincida con el origen de coordenada , uno de sus lados (llamado lado inicial) coincide con la semirrecta OA y el otro lado (llamado lado terminal) quede ubicado ( a partir del inicial) en la zona de barrida en sentido contrario a la manecilla del reloj.

Razones trigonométricas en posición normal

• Ángulo en Posición Normal :
Llamado también ángulo en posición canónica o estándar; es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado se ubicará en cualquier región del plano, siendo el que indique a que cuadrante pertenece dicho ángulo. En el gráfico adjunto por ejemplo : a, b y q son ángulos en posición normal, cumpliéndose: a Î IC; b Î IIC; q Î IIIC.
• Ángulos Cuadrantales
Se va a denominar ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincide con cualquiera de los semiejes cartesianos. Las medidas de estos ángulos es siempre múltiplo de 90º.
Estos ángulos no pertenecen a cuadrante alguno

Líneas trigonométricas

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad.

En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

QOP y TOS son triángulos semejantes.

QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.

El seno es la ordenada.

El coseno es la abscisa.

-1 ≤ sen α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1

Signo de las razones trigonométricas

• Un procedimiento habitual para situar y comparar ángulos orientados consiste en construir un diagrama cartesiano de origen O y una circunferencia con centro en O; el semieje fijo OX se toma como referencia y sobre él se superpone un lado del ángulo que, por convenio, denominamos primer lado.

Puesto que las razones trigonométricas son independientes del tamaño del triángulo tomado, optamos por tomar la circunferencia de radio la unidad, denominada circunferencia goniométrica. Considerando el punto de intersección del segundo lado y la circunferencia, B(x,y) donde x es la abscisa e y la ordenada.

De esta forma tendremos que:  y .

Luego geométricamente el seno y el coseno se representan por los segmentos:  y.

Para la tangente tendríamos .

Y considerando el triángulo OCD del dibujo tenemos que:

.

Así pues, geométricamente, la tangente viene representada por el segmento CD.

• Puesto que todos los puntos del primer cuadrante del plano cartesiano tienen sus coordenadas positivas, las razones trigonométricas, de los ángulos cuyos puntos B estén situados en el primer cuadrante, son positivos.

En los demás cuadrantes los signos de las razones trigonométricas vienen marcadas por los signos de las coordenadas del punto B (corte del segundo lado del ángulo con la circunferencia goniométrica).

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria(de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Función	Abreviatura	Equivalencias (en radianes)
Seno	sen, sin
Coseno	cos
Tangente	tan, tg
Cotangente	ctg (cot)
Secante	sec
Cosecante	csc (cosec)